考慮空気抵抗のある垂直上投運動

背景知識#

垂直上投運動：物体がある初速度で垂直に投げ上げられることを指し、（空気抵抗を考慮しない場合）重力の影響のみで行われる運動です。

垂直上投運動において、ボールが到達できる最高位置の距離 $ H $ を研究する場合、一般的なアプローチは次の通りです:

初速度がv_0、重力加速度がgの場合、H = \frac{v_0^2}{2g}

では、この問題を変えてみましょう。垂直上投運動において空気抵抗の影響を考慮する場合、結果はどうなるでしょうか？

空気抵抗の関係式 $ f = \frac {1}{2} c \rho S v^2 $ が既知であり、ここで $ C $ は空気抵抗係数、$ \rho $ は空気密度、$ S $ は物体の風面積、$ v $ は物体と空気の相対速度、ボールの質量は $ m $、重力加速度は $ g $ です。

$ H $ をボールが到達できる最高位置の距離とします。

$ c, \rho, S $ がこの問題に与える影響を考慮せず、またボールの直径 $ d \ll H $ とします。

水平方向をボールの正の方向とし、ニュートンの第二法則 $ F = ma $ に基づいて、$ ma = mg + \frac {1}{2} c \rho S v^2 $ となります。

$ \lambda = \frac {1}{2} c \rho S $ とおくと、$ ma = mg + \lambda v^2 $ となります。

\begin{align} \because a &= \dot{v} = \frac{dv}{dt} \\ \therefore m \frac{dv}{dt} &= mg + \lambda v^2 \\ \implies \frac{dv}{dt} &= g + \frac{\lambda}{m} v^2 \\ \end{align}

$ \frac {\lambda}{m} = \mu $ とおくと、

\begin{align} \therefore \frac{dv}{dt} &= g + \mu v^2 \\ \implies \frac{dv}{g + \mu v^2} &= dt \\ \implies \int \frac{dv}{g + \mu v^2} &= \int dt + C \\ \implies \frac{1}{g} \int \frac{dv}{1 + \frac{\mu}{g}v^2} &= t + C \\ \implies \frac{1}{g} \int \frac{\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{\mu}}d(\frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{g}}v)}{1 + (\frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{g}}v)^2} &= t + C \\ \implies \frac{1}{g}\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{\mu}}\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v) &= t + C \\ \implies \sqrt{\frac{1}{\mu g}}\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v) &= t + C (*) \end{align}

$ t = 0 $ のとき、$ v = -v_0 $ となるので、

\begin{align} C &= -\sqrt{\frac{1}{\mu g}}\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v_0) (**) \end{align}

$ v = 0 $ のとき、

\begin{align} t &= \sqrt{\frac{1}{\mu g}}\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v_0) \end{align}

$ (*) $ を $ v $ と $ t $ の明示的な表現に変換する場合、次のようにする必要があります:

\begin{align} (*)を変換すると、\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v) &= \sqrt{\mu g} (t + C) \\ \implies \sqrt{\frac{\mu}{g}}v &= \tan[\sqrt{\mu g} (t + C)] \\ \implies v &= \sqrt{\frac{g}{\mu}}\tan[\sqrt{\mu g} (t + C)] \end{align}

また、$ v = \dot {x} = \frac {dx}{dt} $ なので、

\begin{align} \frac{dx}{dt} &= \sqrt{\frac{g}{\mu}}\tan[\sqrt{\mu g} (t + C)] \\ \implies \int \frac{dx}{dt}dt &= \sqrt{\frac{g}{\mu}} \int \tan[\sqrt{\mu g} (t + C)]dt + C' \\ \implies x &= \sqrt{\frac{g}{\mu}} \int \frac{\sin[\sqrt{\mu g} (t + C)]}{\cos[\sqrt{\mu g} (t + C)]}dt + C' \\ \implies x &= -\sqrt{\frac{g}{\mu}} \int \frac{dcos[\sqrt{\mu g} (t + C)]}{\sqrt{\mu g} (t + C)} + C' \\ \implies x &= -\frac{1}{\mu} \ln{|\cos[\sqrt{\mu g}(t + C)]|} + C' \end{align}

$ H = x_{|t = \sqrt {\frac {1}{\mu g}}\arctan (\sqrt {\frac {\mu}{g}} v_0)} - x_{|t = 0}$ となることに注意してください。

ここで、$ t + C = 0 $ なので、

\begin{align} H = 0 - C' - [-\frac{1}{\mu} \ln{|\cos(C\sqrt{\mu g})|} + C'] \\ \implies H = \frac{1}{\mu} \ln{|\cos(C\sqrt{\mu g})|} + C' (***) \end{align}

$ (), \lambda = \mu m = \frac {1}{2} c \rho S v^2 $ を代入し、$ (*) $ を整理すると次のようになります:

\begin{align} H &= \frac{2m}{c \rho S}\ln{|\cos[\arctan(\frac{c \rho S v_0}{2mg})]|} \end{align}

上記が求める式です。